จากตอนก่อน (คณิตศาสตร์การเงิน: การลงทุนกับสังคมชราภาพ) ได้เกริ่นไปนิดหน่อย ว่าการลงทุน มีผลกระทบต่อการวางแผนสำหรับผู้สูงวัยอย่างไร

คราวนี้ผมขอลองใช้สมการคณิตศาสตร์ มาอธิบายการเก็บออม-ใช้จ่าย ในยามวัยต้นของชีวิตดูบ้าง

ผมไม่อยากกลายเป็นคนแก่ปากเปียกปากแฉะกับลูกหลานที่ต้องมาสอนว่า เก็บออมจำเป็นยังไง มือเติบสร้างปัญหาอย่างไร จึงคิดว่า ถ้าจะสอน ผมจะเริ่มสร้างสมการเชิงอนุพันธ์ให้ดู พิสูจน์กันให้กระจ่างแจ้งไปเลย ถ้ายังไม่เข้าใจ แสดงว่าขาดจิตสำนึกเรื่องการออมอย่างเรื้อรังแล้ว (ผมเข้าใจอะไรผิดไปไหมนี่ ?...)

อีกอย่าง สอนกับคณิตศาสตร์นี่...สนุกกว่าการพร่ำบ่นก่นด่าเยอะเลย 

(คนเราใช้ตัวเองเป็นจุดศูนย์กลางของโลกทั้งนั้นแหละ ยอมรับความจริงซะเถอะ !) 

ขอเริ่มแบบ "น่ากลัว" สักนิดนึง คือเล่าด้วยสมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งจะทำให้อธิบายปรากฎการณ์ได้กระชับ ไม่ต้องเดา ไม่ต้องคาดการณ์อะไรล่วงหน้า

ขอใช้รูปแบบที่ง่ายที่สุด เพราะข้อสรุปโดยสาระคงไม่ต่างกันนักกับการใช้รูปแบบที่สมจริงและซับซ้อน

สมมติว่าไม่มีเงินเฟ้อ ไม่มีการขึ้นเงินเดือน

และมีรายรับคือ r เป็นค่าคงที่ (zero order rate)

และรายจ่าย มีสองส่วน คือส่วนที่ใช้จ่ายคงที่รายเดือนในเรื่องเกี่ยวกับความจำเป็นพื้นฐาน ซึ่งจะคงที่ (zero order rate) ขอย่อด้วย n และส่วนใช้จ่ายเพื่อความเพลิดเพลิน ซึ่งจะเป็นไปตามกฎว่า มีมาก จ่ายหนักมือ มีน้อย จ่ายน้อย (first order rate) ซึ่งขอย่อด้วย e

หากเริ่มต้นที่ไม่เคยมีเงินออม (s) มาก่อน  

สมการที่อธิบายเงินออม จะมีหน้าตาอย่างนี้

ds/dt = r - n - xs   

โดย x เป็นค่าคงที่นิสัย ว่า มีความคันไม้คันมือแค่ไหนเวลามีเงินเก็บ เป็นตัวบอกความ "มือเติบ"

x จะมีหน่วยเป็น "ต่อเวลา" หมายความว่าอะไรก็ช่างเถอะ แต่สำคัญตรงที่ว่า ใช้บอกอะไร

ถ้า x = 0 แสดงว่า เป็นคนชืดชาต่อโลกภายนอก ไม่ซื้อไม่จ่ายเพราะความมือเติบเลย

ถ้า x = 0.07 หมายความว่า มีเงินเก็บอยู่ 1 หน่วย ต้องใช้ออกไปเพื่อความบันเทิง 0.07 หน่วย

ถ้า x = 1 แสดงว่า มีเงินเก็บเท่าไหร่ ก็ขอใช้เท่านั้นให้หมด คือมีเงินเก็บไม่ได้ จะร้อนมือ

ถ้า x > 1 คือใช้เท่าที่มียังไม่หนำใจ ต้องกู้มาใช้เพื่อความบันเทิง

x จึงมีความหมายถึง turnover rate ก็ได้

x หมายถึงนิสัยมือเติบก็ได้

r - n จะหมายถึงเงินออมหลังหักค่าใช้จ่ายจำเป็นขั้นพื้นฐาน ก่อนใช้จ่ายเพื่อความบันเทิง ซึ่งขอเขียน r - n ด้วยสัญลักษณ์ m จะได้สมการที่ดูง่ายขึ้นอีกนิดนึงว่า

ds/dt = m -  xs

สมการนี้ เมื่อแก้แล้ว จะมีหน้าตาดังนี้ครับ

s = (m/x) คูณ [1-exp(-xt)]

ดูแล้วน่ากลัวสำหรับหลายท่าน แต่ในระยะยาว เมื่อเวลาผ่านไปนานพอ สมการนี้ จะยุบตัวลง คือตัวคูณด้านหลัง จะค่อย ๆ กลายเป็น 1 ไปในที่สุด ก็จะได้สมการที่ดู ง๊าย ง่าย ดังนี้

s = m/x

ขออ่านให้ฟังนะครับ

เงินออมในระยะยาว  เท่ากับ รายรับหลังจากหักค่าใช้จ่าย หารด้วย ความมือเติบ

มาดูการตีความด้วยกรณีสมมติดีกว่า

สมมติว่าคนแรก มีรายได้หลังหักค่าใช้จ่ายจำเป็นพื้นฐานแล้ว เป็นปีละแสนบาท มีค่าความมือเติบเป็น 0.01 (คือแทบไม่มการจ่ายเพื่อความบันเทิงเลย เพราะจ่ายทั้งปีจะจ่ายเพียง 1 % จากเงินออมที่มีอยู่เท่านั้น)

กับคนที่สอง  ที่มีรายได้หลังหักค่าใช้จ่ายจำเป็นพื้นฐานแล้ว เป็นปีละล้านบาท มีค่าความมือเติบเป็น 0.1 (จ่ายเพื่อความบันเทิงทั้งปี  10 % จากเงินออมที่มีอยู่)

ในระยะยาว ถามว่า ใครจะมีเงินออมมากกว่า ?

คำตอบคือ เท่ากันครับ

อีกกรณีหนึ่ง 

่คนผู้หนึ่ง มือเติบมาก มี x = 0.5 (คือมีเงินเก็บเท่าไหร่ ปีนั้นต้องใช้ไปครึ่งหนึ่งของเงินเก็บ) และมีรายได้สูงกว่าอีกคนถึง 3 เท่า โดยอีกคนมือเติบเป็น x=0.1 (หมายถึง แต่ละปี ใช้จ่ายเพื่อความมือเติบไป 10 % ของเงินออมที่มีอยู่)

ลองมาคำนวณดูครับ

คนแรก รายได้ 3 ต่อปี ความมือเติบ 0.5 ต่อปี จะมีเงินเก็บ 3 หาร 0.5 ได้เท่ากับ 6

คนที่สอง รายได้ 1 ต่อปี ความมือเติบ  0.1 ต่อปี จะมีเงินเก็บ 1 หาร 0.1 ได้เท่ากับ 10

ผลคือ ในระยะยาว คนที่สองจะมีเงินออมมากกว่าคนแรกเกือบเท่าตัว

จากสมการที่ว่ามาข้างต้น ผมลองสรุปเป็นข้อความสั้น ๆ ดังนี้

• หาได้เท่าไหร่ ไม่สำคัญเท่า เหลือเท่าไหร่
• เหลือเท่าไหร่ อาจไม่สำคัญเท่า ออมเป็นหรือเปล่า (=คุมนิสัยมือเติบ x ให้ต่ำ ๆ ได้ไหม)
  
• คนรายได้ต่ำที่มีรายได้เกินความจำเป็นพื้นฐาน ในระยะยาว ถ้า "อยู่เป็น" ก็สามารถเก็บออมแซงคนรายได้สูงที่รสนิยมสูงได้เหมือนกัน
  

ลองดูสถิติเล็ก ๆ น้อย ๆ

กรุงเทพธุรกิจ พุธที่ 1 ตุลาคม พ.ศ. 2546 ลงข่าวว่า
"ผลวิจัย เอสบิค ระบุชัดคนกรุงใช้เงินเกินตัว
คนกรุงเทพฯ 35.6% เป็นหนี้ คิดเป็นมูลค่าหนี้สิน 426,203 บาทต่อคน"

โดยกลุ่มรายได้ไม่ถึงหมื่นบาท  มีหนี้/คน 140,000 บาท 

(พูดง่าย ๆ คือ ถ้าเอาเงินเดือนมาใช้หนี้ ต้องใช้เวลาสะสาง 1 ปี)

กลุ่มที่รายได้สูงขึ้นมาหน่อย ระหว่างเดือนละหมื่นถึงสองหมื่น กลุ่มนี้มีหนี้/คน 330,167 บาท

(พูดง่าย ๆ คือ ถ้าเอาเงินเดือนมาใช้หนี้ ต้องใช้เวลาสะสางราวปีครึ่ง ถึงสามปี)

กลุ่มที่รายได้สูงขึ้นไปอีก ระหว่างสองหมื่นถึงสามหมื่นบาท หนี้/คน 710,825 บาท

(พูดง่าย ๆ คือ ถ้าเอาเงินเดือนมาใช้หนี้ ต้องใช้เวลาสะสางราวสองปีถึงสามปีครึ่ง) 

กลายเป็นว่า คนยิ่งมีรายได้สูง ยิ่งมองอนาคตสวยหรู ยิ่งกล้ายืมอนาคตมาใช้ล่วงหน้านานขึ้น

ยิ่งมองอนาคตสวยหรู ก็ยิ่งมือเติบ

และสมการข้างต้น ยังนำไปสู่ข้อสรุปอีกหลายอย่าง เช่น

"รวยแต่มือเติบ จะลงเอยที่หมดตัว"(คณิตศาสตร์การเงิน: ความเสื่อม)

"การพนัน เป็น negative-sum game" (คณิตศาสตร์การเงิน: การพนันเป็น negative-sum game)