คราวที่แล้ว ผมทิ้งท้ายว่า หลังจากใช้กฎต่าง ๆ มากรองแล้ว ก็สาธิตให้เห็นได้ว่า เหลือรายการต้องคูณทดสอบ 210 ครั้งก็พอ

แต่คาดตอนแรก ว่าเจอรายการที่เป็น palindrome ราว 95 % คือราวเกือบ 200 ครั้ง โดย assume ว่า ถ้าไม่ใช่ prime number ก็แสดงว่าเป็น palindrome

ซึ่งผิด

ทำไมผิด ? 

เพราะผมตกหล่นไปรายการหนึ่ง คือ palindrome probability distribution

palindrome ในเลข 8 หลัก ที่บังคับขึ้นต้นด้วยเลข 9 จะมีโอกาสพบได้ต่ำมาก

                                 9xyz zyx9

ดูช้า ๆ ชัด ๆ นะครับ มี x y z ดิ้นได้ แต่ละตัวดิ้นได้สิบแบบ คือจากศูนย์ถึง 9 ดังนั้น จะทำให้ทั้งสามตัว ดิ้นได้ 10 x 10 x 10 = 1000 แบบถ้วน

จาก 9000 0009 ถึง 9999 9999 มีเลขทั้งหมด 9999991 ตัว

หรือนั่นคือ หยิบเลขใด ๆ มาหนึ่งตัวที่เป็นเลข 8 หลักที่ขึ้นต้นด้วยเลข 9 จะมีโอกาสพบ palindrome อยู่เพียง 1000/9999990 หรือประมาณ 1 ในหมื่นเท่านั้นเอง

ดังนั้น คูณกัน 210 คู่ ก็จะมีโอกาสเจอ palindrome น้อยมาก คือราว 0.02 ตัวเท่านั้นเอง

ดังนั้น ที่เจอ 1 ตัว ก็ถือว่าบุญแล้ว !