ถ้าเราอ่านประวัติศาสตร์ เราจะเห็นโลกในมุมมองที่ต่างไปจากเดิม

ตัวอย่างเช่น ก่อนยุคที่พีชคณิตจะแพร่หลาย การถอดรากที่สอง ก็มีความสำคัญแล้ว

เรขาคณิตเฟื่องฟูก่อนยุคพีชคณิต เพื่อปกป้องผลประโยชน์ที่วัดกันด้วยที่ดิน จึงต้องคำนวณเนื้อที่ทางเรขาคณิตให้เป็น

ดังนั้น การคูณ หาร ยกกำลังสอง หรือถอดรากที่สอง ล้วนมีความหมายผ่านกระบวนการทางเรขาคณิต เพื่อตอบสนองการชี้วัดความเป็นเจ้าของที่ดิน

คนยุคเก่า รู้จักแนวคิดเรขาคณิตที่เรียกว่า quadrature คือแปลงรูปทรงที่ตนมี ให้กลายเป็นสี่เหลี่ยมจตุรัสที่เนื้อที่เทียบเท่ากันได้ ไม่ว่าจะเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า (ดูบทพิสูจน์) สามเหลี่ยม หรือรูปหลายเหลี่ยม

ซึ่งรากที่สอง ก็คือการผันกลับของ quadrature นั่นเอง (แปลงจากพื้นที่ กลับไปเป็นความยาวด้านของจตุรัส)

ถ้าอยากรู้ว่าตำราเรขาคณิตยุคเก่าให้ความสำคัญกับเรื่อง quadrature มากขนาดไหน คงต้องไปค้น Elements ของ Euclid มาพลิกดู

สูตรคำนวณรากที่สองที่เป็นแบบ recursive: a = (N/a +a) ที่เรียกกันว่า Babylonian algorithm ซึ่งเก่าแก่หลายพันปี ก็สามารถอธิบายได้ด้วยแนวคิดเรขาคณิตของการทำ quadrature ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

แนวคิดหลักของ Babylonian algorithm คือ

รากที่สองของ a x b จะมีค่าประมาณด้วย (a+b)/2

แนวคิดนี้ นักสถิติ จะบอกว่า อธิบายอีกแบบก็ได้ ว่า geometric mean ใกล้เคียง arithmetric mean (แต่นั่นเป็นการอธิบายแบบคนยุคใหม่)

รูปข้างล่าง เล่าถึงการทำ quadrature ตามวิธีของ Euclid ซึ่งปรากฏ อยู่ในตำรา Elements แต่ผมมาวาดรูปเสียใหม่ และเล่าด้วยภาษาพีชคณิตแทน เพราะภาษาเรขาคณิตของยูคลิดนั้น "เหลือกิน" จริง ๆ คือ อ่านแล้วเวียนหัว

แนวคิดที่ว่า ก็คือการแปลงให้สี่เหลี่ยมผืนผ้ากลายไปเป็นจตุรัส โดยใช้เครื่องมือพื้น ๆ สำหรับสร้างวงกลมและการขีดเส้นเท่านั้น

รูปแรก มีสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่กว้าง a สูง b

รูปที่สอง ต่อด้าน a ให้ยื่นออกไปอีก b แล้วหาจุดกลางของส่วนที่ต่อเติมเสร็จ

รูปที่สาม ใช้กึ่งกลางส่วนที่ต่อเติมเสร็จ ลากครึ่งวงกลมครอบให้แตะปลายทั้งสองฟาก ตอนนี้ ความสูงจากจุดกลางถึงจุดสูงสุด จะเป็น (a+b)/2

รูปที่สี่ สร้างครึ่งวงกลมครอบ รัศมีจะเป็น (a+b)/2

รูปสุดท้าย ใช้วิธีลากเส้นจากมุมขวาบนของผืนผ้าเดิม ตรงขึ้นไปจรดกับขอบวงกลม สร้างจตุรัสโดยใช้เส้นนี้

ก็จะได้ว่า จตุรัสที่เพิ่งสร้างขึ้นมา มีพื้นที่เท่ากับสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมีด้านยาวเท่ากับรากที่สองของ a x b

ในรูปสุดท้าย ด้านทะแยงมุม ก็มีความยาวเท่ากับรัศมี ซึ่งก็คือ (a+b)/2 และด้านฐาน ก็จะเกิดจากรัศมี ลบ b ซึ่งก็จะเท่ากับ (a+b)/2 - b = (a-b)/2 ซึ่งเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า ด้านที่เหลือ ต้องเป็นรากที่สองของ (a คูณ b) เพราะสามเหลี่ยมนี้ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ในรูปสุดท้ายนี้เอง ที่ความสูงของจตุรัส ซึ่งก็คือ รากที่สองของ (a x b) มีค่าใกล้เคียงกับความสูงของครึ่งทรงกลม ซึ่งก็คือ (a+b)/2

และเราก็จะเห็นว่า (a+b)/2 จะมีค่ามากกว่ารากที่สองของ ab เสมอ

หรือพูดอีกนัยหนึ่ง ค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะมีค่ามากกว่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเสมอ (ดูจากรูป ค่ารัศมีของวงกลมหรือค่าเฉลี่ยเลขคณิต จะสูงสุด เพราะอยู่ตรงตำแหน่งศูนย์กลาง ส่วนค่าเฉลี่ยเรขาคณิต พยายามสูงเลียนแบบ แต่ตำแหน่งไม่ได้อยู่ตรงศูนย์กลาง ก็จะชนหลังคาเตี้ยกว่าเสมอ

นี่ก็เทียบเท่าการตีความเชิงเรขาคณิตของ algorithm ที่ได้ชื่อว่า เก่าแก่ย้อนยุค เก่ากว่ายุคพุทธกาลเสียอีก ที่เรียกว่า Babylonian algorithm นั่นเอง

สำหรับผู้สนใจ ย้อนกลับไปอ่านเรื่องเกี่ยวข้องได้ที่

ถอดรากที่สองด้วยมือ ตอนที่ 1, ตอนที่ 2, ตอนที่ 3