First Principles เป็นการที่เราใช้สิ่งที่เรียบง่ายขั้นมูลฐาน มาอธิบายสิ่งที่ซับซ้อนกว่า
คำนี้ ผมแปลตรงตัวว่า หลักการมูลฐาน หรือ หลักการปฐมมูล
ชื่ออาจไม่บอกอะไรเท่าไหร่
ตัวอย่างของต้นตำรับวิธีคิดแบบ First Principles ที่คนทั้งโลกรู้จักดี ก็คือ ยูคลิด (Euclid) คนที่เขียนตำราเรขาคณิตตั้งแต่สองพันปีก่อน
ส่วนที่เกี่ยวกับทฤษฎีบททางเรขาคณิตของเขา ไม่ว่าจะซับซ้อน ยอกย้อนซ่อนเงื่อนเพียงใด ล้วนงอกออกมาจากหลักการมูลฐานเพียงไม่กี่ข้อ ที่เรียกว่า สัจพจน์
ลองดูตัวอย่าง สัจพจน์
อยากรู้ว่า สัจพจน์ไม่กี่ข้อ งอกขึ้นมาได้ไกลขนาดไหน ต้องลองไปอ่านงานของยูคลิดดูเอง
การเข้าใจซึ้งถึงแนวคิดแบบ First Principles ก็เหมือนการหยั่งรากแก้วลงดินได้ลึก สามารถทำให้โตได้ไกล แม้ว่า ตอนแรก ๆ จะดูช้า ไม่ทันใจ
ตัวอย่างเช่น วิธีแก้สมการเชิงอนุพันธ์หาผลเฉลยเป็นตัวเลข รากเหง้า ล้วนงอกมาจาก Taylor Series
Taylor Series ก็คือ อนุกรมอนันต์ ที่บอกว่า ในทางคณิตศาสตร์ เราสามารถ นิยามตัวเรา โดยอ้างอิงกับคนอื่น หรือนิยามคนอื่น โดยอ้างอิงกับตัวเราเอง ก็ได้
หน้าตาเป็นอย่างนี้ (จาก wikipedia)
f(x) =
คือว่า ถ้าเรารู้ทุกอย่าง เกี่ยวกับฟังก์ชันอะไรก็ได้ ที่ตำแหน่งหนึ่ง (ที่ตำแหน่ง a ใด ๆ) เราสามารถบอกได้เลยว่า ที่ตำแหน่งอื่นที่อยู่ไกลออกไป (ที่ตำแหน่งอื่น คือ x) จะมีค่าเป็นเท่าไหร่
หรือพูดง่าย ๆ คือ หากรู้ลึกซึ้งถึงที่สุดที่ตรงไหนก็ได้ เราสามารถรู้ทุกอย่างของที่อื่นได้หมด
ตัวอย่างเช่น จะหารากที่สอง ของ x=2
ขอเพียงรู้คุณสมบัติืทุกอย่างของรากที่สองที่จุดอื่น เช่น ที่ x=1 เราจะสามารถหารากที่สองของ x=2 ได้ หรือที่จุดอื่นใดก็ได้
หากสูตรรากที่สอง เขียนว่า f(x)=x^(1/2)
^ คือ ยกกำลัง
คราวนี้ เราสามารถหาอนุพันธ์อันดับต่าง ๆ ได้ (ใช้ความรู้แคลคูลัส)
f'(x)=(1/2)x^(-1/2)
f''(x)=(-1/4)x^(-3/2)
f'''(x)=(3/8)x^(-5/2)
....
ถ้าเรารู้รายละเอียดของรากที่สอง ที่ a=1 อย่างละเอียดครบถ้วน เช่น อนุพันธ์อันดับต่าง ๆ ของ รากที่สอง มีหน้าตาอย่างไร ก็แค่จับแทนค่า
f(2) = f(1) + (2-1)f'(1)/1! + (2-1)^2f''(1)/2! + (2-1)^3f'''(1)/3! + ...
=1 + 1/2 - 1/8 +1/16 - 5/128 + 7/256 - 21/1024 + 33/2048 - 429/32768 ...
เพียงไม่กี่พจน์ เราก็ได้คำว่าคร่าว ๆ ว่า รากที่สองของสอง มีค่า 1.4 กว่า ๆ โดยการคำนวณนี้ อ้างอิงถึงพฤติกรรมของรากที่สองของ 1 ล้วน ๆ
แนวคิด Taylor Series นี้ ก็เป็นกระบวนท่าแม่บท ที่แตกแขนงออกไปได้ไม่รู้จบ ในศาสตร์แขนงต่าง ๆ ที่เกี่ยวข้องกับวิธีประมาณค่าตัวเลขต่าง ๆ (วิธีคำนวณเชิงตัวเลขในปัจจุบันจำนวนมาก งอกมาจาก Taylor Series เพียงอย่างเดียว !)
ยังมีตัวอย่างอีกมาก ที่สะท้อนให้เห็นถึงหลักการ First Principles
การเข้าใจถึงรากเหง้าแบบ First Principles จะทำให้เราสามารถมีทางเลือกมากมายเกิดขึ้นในมือ ทำให้สามารถสร้างเทคโนโลยีขึ้นใช้แก้ปัญหาเฉพาะหน้าได้ง่าย
ตัวอย่างคือ ผมเคยเจอปัญหา modeling ระบบที่ต้องนิยามโดยสมการเชิงอนุพันธ์หลายชั้นที่อาจเป็นไปได้หลายแบบ ต้องหาค่าคงที่จากสมการเหล่านี้ ในเงื่อนไขว่า สถานการณ์จริงที่เก็บข้อมูล มีความซับซ้อนกว่าที่ซอฟท์แวร์ที่มีขายทางการค้า จะรับมือไหว ผมผ่าทางตันด้วยการใช้เทคโนโลยีที่มีใช้ในคอมพิวเตอร์(แทบ)ทุกเครื่อง คือใช้ spreadsheet
ผลคือได้คำตอบที่ต้องการแบบไม่เหนื่อยมาก เพราะเข้าในแนวคิดรากเหง้าทำนองนี้แบบครบองค์ คือ
1) รู้จักตระกูลวิธีต่าง ๆ ในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ว่า วิธีไหน ใช้ได้หรือใช้ไม่ได้ วิธีไหนง่าย วิธีไหนยากในการคำนวณใน spreadsheet และ
2) รู้จักวิธีการทำ optimization เพื่อหาค่าคงที่ที่เหมาะสมที่สุดทางสถิติ โดยรู้ว่า วิธีไหน ไว้ใจได้ และ ทำง่ายโดยไม่ต้องเขียนโปรแกรม และได้คำตอบเร็วพอสมควรด้วย เพื่อจูนหาแบบ "ทำมือ" โดยต้องรู้
3) เข้าใจถึงแนวคิดเรื่อง best fit criteria ด้วย ว่ามีหลายตระกูล แต่ละตระกูลก็มีจุดเด่นคนละแบบ แบบไหนเหมาะกับสถานการณ์เฉพาะหน้า
ถ้ารู้ไม่ครบองค์ ผมก็ทำอะไรไม่ได้
รู้แค่ชื่อ ผมก็ทำอะไรไม่ได้
แต่การที่เคยลงลึกในระดับรายละเอียดในแต่ละเรื่องมากพอสมควร ทำให้เหมือนกับมีระบบนำทางชั้นเลิศ สามารถท่องป่าโดยไม่หลงทาง ไปถึงจุดหมายได้เหมือนกัน
f(x) =